导数在高中数学教学中的应用
【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。
【关键词】导数函数 曲线的斜率 极值和最值
导数(导函数的简称)是—个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线
例1：已知曲线y=X3—3X2一l，过点(1，-3)作其切线，求切线方程。
分析：根据导数的几何意义求解。
解：y =3x2-6x，当x=l时y =-3，即所求切线的斜率为一3.故所求切线的方程为y+3=一3(x一1)，即为：y=-3x.方法提升：函数y=f(x)在点Xo处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(xo，y=f(xO))处的切线的斜率。既就是说，曲线y：f(x)在点P(xO，y=f(如))处的切线的斜率是fr(，dD)，相应的切线方程为y—yo=ff0 (x—x0)。
二、用导数判断函数的单调性
例2：求函数y=x3—3x2—1的单调区间。
分析：求出导数 ，令y >0或y <0，解出x的取值范围即可。
解：y =3x2-6x，由y >0得3x2-6x>0，解得x<0或x>2。
由y <0得3x2-6x<0，解得0
故所求单调增区间为(一∞，0)u(2，+。。)，单调减区间为(0，2)。
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数fr(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式fr(x)>O和f(X)
三、用导数求函数的极值
例3.求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值解：由f，(x)=x2-4=0，解得x=2或X--2.当x变化时，y 、y的变化情况如下：
当X--2时，y有极大值f(-2)=-(28/3)，当x=2时，y有极小值f(2)=-(4/3).方法提升：求可导函数极值的步骤是：(1)确定函数定义域，求导数fr(x);(2)求f，(x)=0的所有实数根;(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根(如如)的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化，如果fT(x)的符号由正变负，则f(xO)是极大值;如果f，(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果fr(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(如)不是极值。
四、用导数证明不等式
证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>O(
例(1)求证：当a≥1时，不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0，1)中的任一个常a，问是否存在x0>0使得ex0一x0—1>a·x022ex0成立域H果存在，求出符合条件的一个x0;否则说明理由。
分析：(1)证明：(I)在x≥0时，要使 -x一1)Gax2e Ix I2成立。
只需证：exGa2x2ex+x+l即需证：1 Ga2x2+x+lex(~令y(x)=a2x2+x+1ex，求导数y (x)=ax+l·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex.。
.y (x)=x(a一1 ，又a≥1，求x≥O，故y (x)≥O.·.f(x)为增函数，故f(x)≥y(o)=1，从而①式得证(Ⅱ)在时xG0时要使eX-X-1Gax2elxl2成立。
只需证：exGa2x2ex+x+l，即需证：1 Gax22e一2x+(x+1)e—x②令m(x)=ax22e一2x+(x+1)e—x，求导数得m (x)=-Xg：一2x[ex+a(x一1)]
而 (x) ex+a(x一1)在xG0时为增函数故‘P(x)≤‘P(o)=1一aGO从而m(x)G0.·.m(x)在xGO时为减函数，则m(x)≥m(o)=1从而②式得证由于①②讨论可知，原不等式ex—X一1Gax2eIxI2在a≥1时，恒成立(2)解：ex0-x0-1 Ga·x02}x I2ex0将变形为ax022+x0+lex0—1
导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以解析几何相联系，可以在知识的网络交汇处设计问题。因此，在教学中，要突出导数的应用。